Aviso: imagino que o leitor deste artigo já tenha algum conhecimento prévio de cálculo, e, portanto, o objetivo do mesmo não é ensinar algo novo, mas tornar intuitivo algo que já se conhece previamente. Desta forma, não me preocupo muito com o formalismo matemático, apenas foco no que há de intuitivo na geometria.

Gottfried Leibnitz

Figura 1. Leibnitz, notável matemático alemão que desenvolveu grande parte do cálculo moderno, independentemente de Newton. Estátua em calcário (pedra de Caen) no Oxford University Museum of Natural History.

Gottfried Wilhelm Leibniz foi um matemático e filósofo excepcional. Trouxe grandes contribuições ao cálculo diferencial e integral (como a notação infinitesimal) e à logica filosófica. Entretanto seu passado é largamente desprezado (se não, diminuído) nos meios matemáticos, dado o gigantismo de seu contemporâneo Isaac Newton. Há lá suas razões, pois Newton foi um dos maiores gênios da história, mas Leibniz desenvolveu um cálculo muito mais intuitivo e geométrico do que seu colega britânico.

Não é de se espantar que as ciências e a matemática pós Leibniz e Newton avançaram muito mais na Europa continental, já que Newton utilizava notações muito rebuscadas e frequentemente não publicava suas descobertas, guardava para si e seus poucos seguidores.

Dito isto, contemos a história. O trabalho que Leibniz publicou demonstrando o Teorema Fundamental do Cálculo conta algumas passagens muito interessantes. Começamos por volta da década de 1670, numa época a comunicação entre intelectuais (filósofos, matemáticos) se dá através de cartas (que levam muito tempo para chegar).

Um colega seu (cujo nome não me foi mencionado) lhe havia enviado uma carta em que propunha um problema sobre somatória de números. Normalmente, quando alguém envia um “desafio” dessa maneira, essa pessoa já sabe previamente a resposta. Assim, Leibniz pensou em quais métodos ele próprio conhecia sobre as somatórias. Então, ele chegou na solução de um problema para somatório de números ímpares, digamos, de 1 até 15. Vejamos:

Seqüência dos impares de 1 a 15

Figura 2. Seqüência dos ímpares de 1 a 15, interpretados como diferenças entre quadrados perfeitos

O que Leibniz faz é interpretar cada um dos ímpares como diferenças de quadrados perfeitos (figura 2). O 1 é igual a (1 – 0), o 3 é igual a (4 – 1), o 15 é igual a (64 – 49). Assim, quando somarmos todos os números (substituídos pelas diferenças de quadrados), muitos cancelamentos interessantes ocorrerão:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 =

= (1 – 0) + (4 – 1) + (9 – 4) + (16 – 9) + (25 – 16) + (36 – 25) + (49 – 36) + (64 – 49) =

= 64 – 0 =

= 64

Assim, Leibniz substitui o problema de somar muitos números pelo de fazer a diferença entre apenas dois números. (A propósito, confira, a soma dos ímpares de 1 a 15 de fato dá 64). Podia ser que fosse a soma dos ímpares de 1 a 18291, um problema bem mais complicado. Simples: é só conhecer quais os quadrados perfeitos deste caso, e pronto.

Muito bem, só que eu ainda não entendi onde entra o TFC nessa história. Bem, então primeiro revisemos o TFC. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para uma função f(x) contínua em [a, b], segue que:

Teorema Fundamental do Cálculo

Ou seja, a integral de f(x) no intervalo [a, b] é a diferença da primitiva (ou antiderivada) F(x) nos extremos do intervalo. Em termos gráficos (figura 3), a integral de uma função é a área sob a curva em relação ao eixo x, tendo sinal negativo caso a ordenada seja negativa:

Definição primária da integral de uma função

Figura 3. Definição primária da integral de uma função, a área sob a curva

Aqui entra a malandragem desse alemão. Ele idealiza a solução da integral de f(x) como esboçado na figura 4. A integral é a somatória desses pequenos retangulos, de dimensões f(xi) por “1”. Note que esse “1” é apenas uma convenção de Leibniz, para facilitar o desenvolvimento, já que qualquer número multiplicado ou dividido por 1 dá ele mesmo.

Idealização da integral de Leibniz

Figura 4. Idealização da integral de Leibniz

Dessa forma, omitindo-se o “1”, a integral de f(x) no intervalo [x0, xn] é igual a somatória das áreas dos retângulos:

f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xn)

Lembram-se do problema da somatória de ímpares? Então, seria bastante conveniente conhecer uma outra função que fosse análoga ao mesmo. Ou seja, Leibniz está em busca de um função F(x) que tenha as seguintes propriedades:

f(x1) = F(x1) – F(x0)

f(x2) = F(x2) – F(x1)

f(x3) = F(x3) – F(x2)

f(xn) = F(xn) – F(xn-1)

—————————————–

f(x1) + … + f(xn) = F(xn) – F(x0)

Agora fica a questão: como achar F(x)? É aqui onde está a sacada final de Leibniz.  Uma boa idéia é analizar o gráfico desta função, como vemos na figura 5:

Figura 5. Gráfico da função F(x), analizando-se a diferença entre dois pontos separados pela distância de "1"

Figura 5. Gráfico da função F(x), analizando-se a diferença entre dois pontos separados pela distância de "1"

Nessa função F(x), a tangente do ângulo θ mostrado na figura é:

tg θ = a/”1″ = a

a = F(x1) – F(x0)

Bem, os mais apressadinhos já entenderam tudo.  Quando fizermos este “1” tender a zero, a tangente de θ será a derivada de F(x), ou seja, F'(x). Assim, encontramos uma função F(x) que satisfaz as propriedades citadas, o que significa que F'(x) = tg θ = f(x). (Note também que a exigência de fazer o “1” tender a zero é para aumentar a precisão da integral, já que os retangulos serão cada vez menores, e a área cada vez mais precisa).

"1" da notação de Leibniz

O “1” da notação inicial de Leibniz pode ser interpretado como 1 unidade, 1 metro, 1 nano, 1 gugol, ou seja, qualquer coisa, tão pequeno ou tão grande quanto se queira. Leibniz finaliza seu trabalho substituindo esse “1” de duas pernas pela notação infinitesimal dx. Dessa maneira está provado o Teorema Fundamental do Cálculo e pode-se afirmar que:

Teorema Fundamental do Cálculo

—————————————————————————

  • Essa história não é minha, apenas estou repassando, portanto quaisquer imprecisões históricas ou matemáticas não são (unicamente) minhas. Quem contou essa história foi meu professor de cálculo numérico Clodoaldo, do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Segundo ele, a história estava em uma coleção de livros de história do cálculo, que seriam originalmente da Oxford University, traduzidos pela UnB. Resumindo, foi o tio da prima do vizinho do meu amigo que contou essa história.

About these ads